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空间引力波望远镜主反射镜系统的结构设计优化

王辰忠 胡中文 陈忆 许明明 陈力斯

王辰忠, 胡中文, 陈忆, 许明明, 陈力斯. 空间引力波望远镜主反射镜系统的结构设计优化[J]. 红外与激光工程, 2020, 49(7): 20190469. doi: 10.3788/IRLA20190469
引用本文: 王辰忠, 胡中文, 陈忆, 许明明, 陈力斯. 空间引力波望远镜主反射镜系统的结构设计优化[J]. 红外与激光工程, 2020, 49(7): 20190469. doi: 10.3788/IRLA20190469
Wang Chenzhong, Hu Zhongwen, Chen Yi, Xu Mingming, Chen Lisi. Structural design optimization of space gravitational wave telescope primary mirror system[J]. Infrared and Laser Engineering, 2020, 49(7): 20190469. doi: 10.3788/IRLA20190469
Citation: Wang Chenzhong, Hu Zhongwen, Chen Yi, Xu Mingming, Chen Lisi. Structural design optimization of space gravitational wave telescope primary mirror system[J]. Infrared and Laser Engineering, 2020, 49(7): 20190469. doi: 10.3788/IRLA20190469

空间引力波望远镜主反射镜系统的结构设计优化

doi: 10.3788/IRLA20190469
基金项目: 国家自然科学基金(U1831108);中国科学院战略先导科技专项(B):多波段引力波宇宙研究—空间太极计划预研
详细信息
    作者简介:

    王辰忠(1988-),男,博士生,主要从事引力波望远镜预研和光机精密设计方面的研究。Email:czwang@niaot.ac.cn

    胡中文(1968-),男,研究员,博士生导师,主要从事天文光学仪器的技术方法方面的研究。Email:zwhu@niaot.ac.cn

    陈忆(1964-),男,正高级工程师,博士生导师,主要从事天文望远镜及终端仪器设备的机械结构设计方面的研究。Email:ychen@niaot.ac.cn

  • 中图分类号: TH74

Structural design optimization of space gravitational wave telescope primary mirror system

  • 摘要: 针对空间引力波望远镜主反射镜系统的结构及支撑组件进行了设计与优化。主反射镜运用了侧面3点支撑对镜体进行约束,并对支撑点的选取与布局进行了研究。反射镜采用能够实现较大弯曲刚度的背部钻孔式半封闭构型,通过有限元计算结合多目标遗传算法对反射镜轻量化结构进行了参数优化,在不降低面形精度的条件下使镜体结构轻量化率达到74%。设计了一种由两个无阻隔串联式柔度单元组合而成的可调节双轴连杆型Bipod柔性铰链结构,其可对反射镜面形误差进行补偿。建立了柔性铰链并联机构作用于反射镜的数学模型,对其进行了基于MATLAB的参数取值分析,并通过有限元方法完成了对参数取值的修正。最后进行了空间热载荷条件下的反射镜面形分析,结果表明反射镜面形误差优于λ/60,满足设计要求。
  • 图  1  光学设计方案实体模型

    Figure  1.  Optical design scheme solid model

    图  2  空间引力波望远镜主反射镜系统

    Figure  2.  Primary mirror system of space gravitational telescope

    图  3  反射镜支撑结构布置形式示意图

    Figure  3.  Schematic diagram of the layout of mirror support structure

    图  4  不同布置形式顶角值对镜面面型及偏移量的影响

    Figure  4.  Influence of vertex angle values of different layout types on mirror profile and offset

    图  5  离轴抛物面主反射镜初始参数设计模型

    Figure  5.  Design model of initial parameters for off-axis parabolic primary mirror

    图  6  反射镜优化迭代参数权衡图表

    Figure  6.  Mirror optimization iteration parameter tradeoff chart

    图  7  Bipod柔性铰链组实体结构图

    Figure  7.  Solid structure diagram of Bipod flexible hinge group

    图  8  无阻隔全柔性铰链组示意图

    Figure  8.  Schematic diagram of non-blocking full flexible hinge group

    图  9  反射镜组件柔性支撑结构模型

    Figure  9.  Flexible support structure model of mirror assembly

    图  10  空间热载荷和重力释放引起的光机结构变形云图

    Figure  10.  Deformation nephogram of optomechanical structure caused by space thermal load and gravity release

    图  11  不同热载荷下的面形畸变

    Figure  11.  Surface error under different thermal loads

    表  1  主反射镜组件材料属性

    Table  1.   Material properties of primary mirror components

    PropertiesMaterials
    Zerodur4J36
    Density ρ/g·cm–32.538.13
    Poisson ratio μ0.240.29
    Young’s modulus E/GPa90.3141.0
    Thermal conductivity/W·(mK)–11.4614.8
    CTE α/(10–7 K–1)0.070.50
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    表  2  反射镜轻量化光机设计参数

    Table  2.   Optomechanical design parameters for lightweight mirror

    NamePARMValue/mmType
    Edge wall thicknesst03.5–6.5var.
    Core wall thicknesstC2–4var.
    Front thicknesstF5.5–7.5var.
    Core wall spacingwB55–60var.
    Back thicknesstB2–4var.
    Head radiusrC6.5–7.5var.
    Vertex angle(SP)ΨP50–65 (°)var.
    Support height14–21var.
    Mirror thicknessh026–34var.
    Shank radiusrSf (rC, wB)NA
    Back hole diameterD0f (rC)NA
    Boss depthdB26const.
    Boss sectiondC10const.
    f (rC)表示与rC相关联的参数;f (rC, wB)表示与rC, wB相关联的参数
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    表  3  反射镜优化迭代后光机设计参数取值

    Table  3.   Mirror optimization parameter value after mirror optimization iteration

    PARMOptimal value/mmAdoption value/mm
    t04.1134.1
    tC2.0422.0
    tF5.5135.5
    wB57.72257.7
    tB2.1642.2
    rC6.5626.6
    ΨP57.372 (°)57.4 (°)
    hC14.51814.5
    h032.57432.6
    RMS6.050 4 nm6.060 nm
    Mass1.439 kg1.423/kg
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    表  4  Bipod组件尺寸参数取值

    Table  4.   Dimensional parameters of Bipod components

    PARMValue range/mmANSYS correction/mm
    l14.2–5.64.3
    l2/l38.0–9.49.0
    l44.0–5.04.1
    ti0.9–1.11.0
    wi4.6–5.85.0
    θ029°–34°30°
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    表  5  主反射镜系统的结构模态

    Table  5.   Modal of the primary mirror system

    TypeMode
    12345
    Frequency/Hz415.1431.9786.7934.91106.7
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    表  6  热载荷条件下的反射镜面形

    Table  6.   Mirror shape under thermal load conditions

    ParameterSpace thermal loadT-gradient
    InitialFinallyAxial 1.0 K
    Δx/nm6.562.05<0.01
    Δy/nm0.210.06<1E–4
    Δz/μm0.850.350.002
    Δθx/nrad0.09<0.01<0.01
    Δθy/nrad<0.01<0.01<0.01
    Δθz/nrad<0.01<0.01<0.01
    PV/nm55.4031.400.27
    RMS/nm15.468.830.07
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-04-07
  • 修回日期:  2020-05-10
  • 网络出版日期:  2020-06-22
  • 刊出日期:  2020-07-25

空间引力波望远镜主反射镜系统的结构设计优化

doi: 10.3788/IRLA20190469
    作者简介:

    王辰忠(1988-),男,博士生,主要从事引力波望远镜预研和光机精密设计方面的研究。Email:czwang@niaot.ac.cn

    胡中文(1968-),男,研究员,博士生导师,主要从事天文光学仪器的技术方法方面的研究。Email:zwhu@niaot.ac.cn

    陈忆(1964-),男,正高级工程师,博士生导师,主要从事天文望远镜及终端仪器设备的机械结构设计方面的研究。Email:ychen@niaot.ac.cn

基金项目:  国家自然科学基金(U1831108);中国科学院战略先导科技专项(B):多波段引力波宇宙研究—空间太极计划预研
  • 中图分类号: TH74

摘要: 针对空间引力波望远镜主反射镜系统的结构及支撑组件进行了设计与优化。主反射镜运用了侧面3点支撑对镜体进行约束,并对支撑点的选取与布局进行了研究。反射镜采用能够实现较大弯曲刚度的背部钻孔式半封闭构型,通过有限元计算结合多目标遗传算法对反射镜轻量化结构进行了参数优化,在不降低面形精度的条件下使镜体结构轻量化率达到74%。设计了一种由两个无阻隔串联式柔度单元组合而成的可调节双轴连杆型Bipod柔性铰链结构,其可对反射镜面形误差进行补偿。建立了柔性铰链并联机构作用于反射镜的数学模型,对其进行了基于MATLAB的参数取值分析,并通过有限元方法完成了对参数取值的修正。最后进行了空间热载荷条件下的反射镜面形分析,结果表明反射镜面形误差优于λ/60,满足设计要求。

English Abstract

    • 空间引力波探测不仅可对爱因斯坦广义相对论进行验证,同时也是研究宇宙早期形成与演化的重要途径。2015年9月LIGO探测到了GW150914信号,经过数据对比分析后,2016年2月11日,美国国家科学基金会正式宣布LIGO探测到双黑洞合并产生的引力波[1-2]。引力波的成功探测是物理学和天文学的重大突破,表明人类在探索超大质量黑洞与周围致密天体的相互作用方面开拓了新途径。

      国际上的空间引力波探测项目欧洲空间局(ESA)的eLISA计划,其前身是美国国家航空航天局(NASA)与欧洲空间局合作的LISA计划,2015年12月ESA成功发射了LISA-Pathfinder探测器卫星[3]。国内由中国科学院提出的空间引力波探测项目“太极计划”,其方案是发射引力波探测星组将其定位于日心轨道上,用激光干涉方法进行中低频波段(1.0E–4~1.0 Hz)引力波的探测。空间引力波探测器与地面激光干涉引力波探测器两者互补可实现更加宽广波段的引力波探测[4-5]。目前太极计划在国家空间先导专项的支持下已经进行了一定的技术积累。根据太极计划的技术要求,引力波望远镜主反射镜在空间载荷条件下的面形误差优于λ/60。此文对空间引力波望远镜的主反射镜系统进行了结构设计与优化,研究了主反射镜的支撑布局,设计了可调节双轴连杆型Bipod柔性铰链结构,对镜体进行了轻量化设计,对主反射镜系统在空间载荷下的面形进行了分析,得到面形RMS值为8.83 nm,满足要求。为后续引力波望远镜4镜光机系统的可靠性设计与稳定性研究提供技术积累。

    • 根据空间引力波望远镜的技术要求,初步光学设计方案为离轴4镜系统,如图1所示,其中主反射镜M1为离轴抛物面镜,次镜M2为非球面镜,三镜M3为平面镜,四镜M4为球面镜。这里针对主反射镜M1结构组件进行研究。

      图  1  光学设计方案实体模型

      Figure 1.  Optical design scheme solid model

      空间引力波望远镜主反射镜系统结构如图2所示,镜体口径Φ=210 mm,为平衡反射镜轻量化率与镜体弯曲刚度的关系,反射镜采用背部钻孔的半封闭构型,轻量化蜂窝结构采用三角形孔[6]。为使主反射镜系统在空间热载荷条件下保持良好的热稳定性,主镜材质选用极低热膨胀微晶玻璃ZERODUR® 0级(极致EXTREME)。

      图  2  空间引力波望远镜主反射镜系统

      Figure 2.  Primary mirror system of space gravitational telescope

      考虑到反射镜镜体本身结构尺寸较小,为便于后续测试,主反射镜系统采用侧面3点支撑型构型,支撑脚为Bipod柔性铰链组结构。柔性铰链组采用低膨胀合金(4J36),其在常温与低温条件下与反射镜采用的极低热膨胀微晶玻璃匹配效果较好,且强度与刚度条件能够满足需要。主反射镜组件材料属性如表1所示。

      表 1  主反射镜组件材料属性

      Table 1.  Material properties of primary mirror components

      PropertiesMaterials
      Zerodur4J36
      Density ρ/g·cm–32.538.13
      Poisson ratio μ0.240.29
      Young’s modulus E/GPa90.3141.0
      Thermal conductivity/W·(mK)–11.4614.8
      CTE α/(10–7 K–1)0.070.50
    • 图3所示,由于反射镜镜体轴向厚度不均匀,仅有一个对称面K-K,为保证反射镜对称面两侧结构受力均衡,减小侧向偏移量,支撑结构可采用SPSQ两种布置形式,其中PiQi (i=1,2,3)分别为SPSQ布置的支撑点。SPSQ中各自支撑点所构成的等腰三角形的顶角ΨPΨQ分别位于反射镜最厚侧与最薄侧。

      图  3  反射镜支撑结构布置形式示意图

      Figure 3.  Schematic diagram of the layout of mirror support structure

      要确保反射镜整体结构静态稳定,各支撑位置作用于反射镜的合力矩应不使镜体产生倾覆力矩,即反射镜重心G0在支撑平面上的投影位于各支撑位置连线所构成的等腰三角形区域内。根据镜体初始轻量化结构重心位置径向偏移量Δt的值,定义SPSQ两种布置形式下顶角值ΨPΨQ的初始取值范围为[20°, 80°]。

    • 为对SPSQ两种布置形式进行选择,并缩小对应的顶角取值范围以减小后续优化设计的计算量,运用有限元分析对在1 g重力作用下反射镜的初始轻量化模型进行研究,计算在SPSQ两种布置形式下,随顶角ΨPΨQ的取值反射镜镜面沿光轴方向(z方向)的均方根值的变化,以及镜面沿反射镜重心偏移方向的径向偏移量的变化。如图4所示,RMS-SP、RMS-SQ分别表示SPSQ型布置镜面沿光轴方向的均方根值;Δy-SP、Δy-SQ则分别为SPSQ型布置镜面沿反射镜重心偏移方向的径向偏移量。

      图  4  不同布置形式顶角值对镜面面型及偏移量的影响

      Figure 4.  Influence of vertex angle values of different layout types on mirror profile and offset

      图4中曲线RMS-SP与RMS-SQ可知,SP型布置的镜面面型RMS值整体上优于SQ型布置。在顶角角度变化范围内,Δy-SP曲线的偏移量取值区间跨度要小于Δy-SQ曲线。而在两种布置形式下的镜面面型RMS取最小值的位置,Δy-SP曲线的取值与局部变化率均略小于Δy-SQ曲线,因此反射镜拟采用SP型布置。由于初始轻量化的镜体结构在后续优化过程中,设计参数的变化会伴随着镜体重心位置的偏移,结合图4中的数据,拟取用于后续分析的ΨP的变化范围为[50°, 65°]。

    • 对于采用三角形蜂窝孔进行轻量化的反射镜结构而言,其背部打孔可形成2n+1(nN*)条单向肋板,肋板条数的增加会提高反射镜的弯曲刚度,消减蜂窝结构镜面的网格效应,但同时也会显著降低其轻量化率。考虑到反射镜实际径向尺寸,轻量化后所形成的三角形蜂窝孔尺寸较小,网格效应微小,因而侧重于优先满足轻量化率的需求,采用的单向肋板数目为3条。

      图5所示,rCrS分别为反射镜背部钻孔的磨削工具的刀头模型与刀柄模型的半径值,其决定蜂窝槽与进刀孔三角形结构所能达到的加工极限尺寸;tFtB为反射镜的镜面厚度与背板厚度,直接影响反射镜的面形与背部结构弯曲刚度;蜂窝槽尺寸主要取决于反射镜侧边缘壁厚t0、蜂窝芯板厚度tC以及相邻肋板间距wB等参数的取值,上述参数与肋板节点轻量化圆孔直径D0一道,将对反射镜的最终轻量化率产生较大影响;反射镜背面到离轴抛物面镜面几何顶点的距离h0与反射镜背面到侧边缘支撑中心的距离hC分别决定了反射镜的轴向尺寸与侧面支撑高度;dBdC分别表示支撑位置的凸台深度尺寸与凸台截面尺寸[7-8]

      图  5  离轴抛物面主反射镜初始参数设计模型

      Figure 5.  Design model of initial parameters for off-axis parabolic primary mirror

      蜂窝孔轻量化反射镜结构镜面抛光期间由于模具施压,会使蜂孔对应的镜面单元造成局部变形,导致引入额外的面形误差,因而需对反射镜镜面厚度加以限制,校验估算公式如下[6] (Vukobratovich,1997/Doyle et al.,2002):

      $${\delta _{{\rm{quilting}}}} = \dfrac{{12{\varphi _{{t}}}PB\left( {1 + {\mu ^2}} \right)}}{{E{t_{{F}}}^3}}$$ (1)

      式中:δquilting可近似看成单个蜂孔镜面单元的PV值;三角形蜂窝孔计算因子${\varphi _{\rm{t}}} = 0.001 51$P为施加的压力;B为蜂孔内接圆直径。再根据反射镜背部结构形式与轻量化孔构型,以及蜂窝孔结构的可加工性,确定镜体轻量化过程中采用的设计参数及其取值范围[9-12]。反射镜轻量化过程中采用的设计变量包含常量、因变量以及独立变量,表2中列出了反射镜优化过程的设计变量。

      表 2  反射镜轻量化光机设计参数

      Table 2.  Optomechanical design parameters for lightweight mirror

      NamePARMValue/mmType
      Edge wall thicknesst03.5–6.5var.
      Core wall thicknesstC2–4var.
      Front thicknesstF5.5–7.5var.
      Core wall spacingwB55–60var.
      Back thicknesstB2–4var.
      Head radiusrC6.5–7.5var.
      Vertex angle(SP)ΨP50–65 (°)var.
      Support height14–21var.
      Mirror thicknessh026–34var.
      Shank radiusrSf (rC, wB)NA
      Back hole diameterD0f (rC)NA
      Boss depthdB26const.
      Boss sectiondC10const.
      f (rC)表示与rC相关联的参数;f (rC, wB)表示与rC, wB相关联的参数
    • 将反射镜的质量、镜面z轴方向RMS取值的最小值作为子目标函数,采用有限元分析结合多目标遗传算法(MOGA)对参数化的反射镜模型进行结构优化,寻找全局最优解。初始样本数量为10 000,每一次迭代的样本数量为3 000,并在最多20次迭代中找到理想候选对象,最大允许帕累托(Pareto)百分比为70%,收敛稳定性百分比为2%。得到的参数权衡图(图6),它代表了在目标驱动优化中所使用的样本组,Pareto解的集合即所谓的Pareto Front,其下边界的点表明与既定设计目标的匹配程度较高。图中给出了理想优选点的对应位置。

      图  6  反射镜优化迭代参数权衡图表

      Figure 6.  Mirror optimization iteration parameter tradeoff chart

      图6所示,图中理想优选点位置对应的反射镜质量为1.44 kg,镜面RMS值为6.050 nm,理想设计参数取值与取整后的数据如表3所示,在此参数取值下的反射镜轻量化率为74%。

      表 3  反射镜优化迭代后光机设计参数取值

      Table 3.  Mirror optimization parameter value after mirror optimization iteration

      PARMOptimal value/mmAdoption value/mm
      t04.1134.1
      tC2.0422.0
      tF5.5135.5
      wB57.72257.7
      tB2.1642.2
      rC6.5626.6
      ΨP57.372 (°)57.4 (°)
      hC14.51814.5
      h032.57432.6
      RMS6.050 4 nm6.060 nm
      Mass1.439 kg1.423/kg
    • 图7所示,柔性铰链组由S1,S2两个模块组成。上部的模块S1中的方框内边缘柔性薄片设计可以消减镜体与支撑结构在粘合剂作用下的局部应力,垫片用以对反射镜支撑结构的制造误差、装配误差以及镜面偏移误差进行微调,保证两柔性支撑腿延长线交汇点位于模块S1内框几何中心。下部模块S2中的柔性支撑腿在结构上有较好的纵向刚度和横向柔度,使得反射镜支撑结构稳固的同时减小了附加应力的引入。

      图  7  Bipod柔性铰链组实体结构图

      Figure 7.  Solid structure diagram of Bipod flexible hinge group

      图7中,反射镜支撑结构的Bipod柔性铰链组在对反射镜各自由度进行有效限制的同时借助柔性结构的补偿效应,可消减地面测试过程中作用于反射镜结构的振动载荷与机械附加载荷,有利于镜面面形稳定[7,13-14];并能使得反射镜系统得以对温度变化具有一定的动态自适应能力,柔性支撑结构可以抵消部分热应力与装配应力的影响,使得反射镜热控组件可以有更宽的温度取值区间,提高镜体结构的热稳定性。

    • 图8中,对于leg A1,局部坐标系oixiyizi相对于参考坐标系orxryrzr坐标变换的旋转矩阵为${}_{{o_i}}^{{o_r}}R$,平移向量为${}_{{o_i}}^{{o_r}}t$,则有:

      $$\left\{\begin{aligned} & {{}_{{o_1}}^{{o_r}}t = {{\left( {0,0,{{ - {l_1}} / 2} - \sum\limits_{i = 2}^{n = 5} {{l_i}} } \right)}^{\rm T}}} \\ & {{}_{{o_2}}^{{o_r}}t = {{\left( {0,0,{{ - {l_2}} / 2} - \sum\limits_{i = 3}^{n = 5} {{l_i}} } \right)}^{\rm T}}} \\ & {{}_{{o_3}}^{{o_r}}t = {{\left( {0,0,{{ - {l_3}} / 2} - \sum\limits_{i = 4}^{n = 5} {{l_i}} } \right)}^{\rm T}}} \\ &{{}_{{o_4}}^{{o_r}}t = {{\left( {0,0,{{ - {l_4}} / 2} - {l_5}} \right)}^{\rm T}}} \end{aligned}\right.$$ (2)

      图  8  无阻隔全柔性铰链组示意图

      Figure 8.  Schematic diagram of non-blocking full flexible hinge group

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{}_{{o_1}}^{{o_r}}R = {}_{{o_3}}^{{o_r}}R = I} \\ {{}_{{o_2}}^{{o_r}}R = {}_{{o_4}}^{{o_r}}R = {R_{{\rm{Zr}}}}\left( {{\pi / 2}} \right)} \end{array}} \right.$$ (3)

      式中:RZr(π/2)为绕zr轴旋转角度为π/2的位姿矩阵。

      即第i个结构单元到参考坐标系orxryrzr的坐标变换运算矩阵Adsi为:

      $$A{d_{si}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{}_{{o_i}}^{{o_r}}R}&0 \\ {{}_{{o_i}}^{{o_r}}\hat t \cdot {}_{{o_i}}^{{o_r}}R}&{{}_{{o_i}}^{{o_r}}R} \end{array}} \right]$$ (4)

      ${}_{{o_i}}^{{o_r}}\hat t$为由平移向量${}_{{o_i}}^{{o_r}}t$定义的反对称矩阵

      $${}_{{o_i}}^{{o_r}}\hat t = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {z_{{o_r}}}}&{{y_{{o_r}}}} \\ {{z_{{o_r}}}}&0&{ - {x_{{o_r}}}} \\ { - {y_{{o_r}}}}&{{x_{{o_r}}}}&0 \end{array}} \right]$$ (5)

      令柔性单元的柔度矩阵为Csi,由von Mise梁变形理论以及静态梁的旋量理论模型[15],Flexure leg A1中坐标系位于第i个柔度结构单元质心位置时,柔度单元的柔度矩阵为对角阵,

      $${C_{{\rm{si}}}} = {\rm{diag}}\left( {C_{{\rm{si}}}^{{\rm{11}}},C_{{\rm{si}}}^{22},C_{{\rm{si}}}^{33},C_{{\rm{si}}}^{44},C_{{\rm{si}}}^{55},C_{{\rm{si}}}^{66}} \right)$$ (6)

      则Flexure leg A1结构的柔度矩阵可表示为:

      $$\begin{split} {C_{\rm{leg}{A_1}}} =& \sum\limits_{i = 1}^{m = 4} {A{d_{{\rm{si}}}}{C_{{\rm{si}}}}Ad_{{\rm{si}}}^{\rm{T}}}= \\ \quad \quad \, & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {C_{l{A_1}}^{{\rm{11}}}}&0&0&0&{C_{l{A_1}}^{{\rm{15}}}}&0 \\ 0&{C_{l{A_1}}^{22}}&0&{C_{l{A_1}}^{24}}&0&0 \\ 0&0&{C_{l{A_1}}^{33}}&0&0&0 \\ 0&{C_{l{A_1}}^{42}}&0&{C_{l{A_1}}^{44}}&0&0 \\ {C_{l{A_1}}^{{\rm{51}}}}&0&0&0&{C_{l{A_1}}^{55}}&0 \\ 0&0&0&0&0&{C_{l{A_1}}^{66}} \end{array}} \right] \\ \end{split} $$ (7)
    • 根据Timoshenko均质梁结构的弹性力学模型[16],长度为li的空间均质矩形截面柔度结构单元的柔度矩阵表示为:

      $${C_{{\rm{si}}}} = {\rm{diag}}\left( {\dfrac{{{l_i}}}{{EI_x^i}},\dfrac{{{l_i}}}{{EI_y^i}},\dfrac{{{l_i}}}{{G{J_i}}},\dfrac{{{l_i}^3}}{{12EI_y^i}},\dfrac{{{l_i}^3}}{{12EI_x^i}},\dfrac{{{l_i}}}{{E{A_i}}}} \right)\\[-20pt]$$ (8)

      式中$I_x^i,I_y^i$为柔性单元截面惯性矩;${J_i}$为极惯性矩;G为切变模量;${A_i}$为柔性截面积,即:

      $$I_x^i = \dfrac{{{w_i}^3{t_i}}}{{12}},I_y^i = \dfrac{{{w_i}{t_i}^3}}{{12}},{A_i} = {w_i}{t_i},{J_i} = I_x^i + I_y^i$$

      定义

      $${\eta _i} = {\left( {\dfrac{{{t_i}}}{{{w_i}}}} \right)^2},{\gamma _i} = {\left( {\dfrac{{{t_i}}}{{{l_i}}}} \right)^2},{\varepsilon _i} = \dfrac{{{J_i}}}{{I_y^i}},\xi = \dfrac{G}{E} = \dfrac{1}{{2\left( {1 + \mu } \right)}}$$

      则有:

      $${C_{{\rm{si}}}} = \dfrac{{{l_i}}}{{EI_y^i}}{\rm{diag}}\left( {{\eta _i},1,\dfrac{1}{{\xi {\varepsilon _i}}},\dfrac{{{l_i}^2}}{{12}},\dfrac{{{l_i}^2}}{{12}}{\eta _i},\dfrac{{{l_i}^2}}{{12}}{\gamma _i}} \right)$$ (9)

      ${\varepsilon _i}$为极惯性矩与截面惯性矩的比值,为:

      $${\varepsilon _i} = 12\left\{ {\dfrac{1}{3} - 0.21\dfrac{{{t_i}}}{{{w_i}}}\left[ {1 - \dfrac{1}{{12}}{{\left( {\dfrac{{{t_i}}}{{{w_i}}}} \right)}^4}} \right]} \right\}$$ (10)

      由公式(10)可以知道,当柔性单元的厚宽比取值较小时,则有${\varepsilon _i} \approx 4$成立,柔度矩阵${C_{si}}$最终由${{{l_i}} / {EI_y^i}},{\eta _i},{\gamma _i},\xi ,{l_i}$所定义。柔性支撑结构在设计过程中需满足在对反射镜空间自由度进行有效限制的同时尽量消减由于多点支撑对反射镜镜体产生的过约束,根据柔度单元的结构特性,若

      $$\dfrac{{{t_i}}}{{{w_i}}} \in \left[ {\dfrac{1}{{16}},\dfrac{1}{4}} \right],\dfrac{{{t_i}}}{{{l_i}}} \in \left[ {\dfrac{1}{{20}},\dfrac{1}{4}} \right]$$

      ${\eta _i} = {\left( {{{{t_i}} / {{w_i}}}} \right)^2} \ll 1,{\delta _i} = {\left( {{{{t_i}} / {{l_i}}}} \right)^2} \ll 1$,即由公式(9)可知,柔度单元具有3个自由度$\theta _y^{{o_i}},\theta _z^{{o_i}},\delta _x^{{o_i}}$与3个约束$M_x^{{o_i}},F_y^{{o_i}},F_z^{{o_i}}$

    • 定义柔度支撑腿leg Aj到参考坐标系oAxAyAzA的坐标变换运算矩阵为${{A{d}}_{{{{{\rm A}}}}_j}}$。则柔性铰链组的柔度计算如下:

      $$\begin{split} {C_{{Hinge_-}A}}= &{\left( {\sum\limits_{j = 1}^{n = 2} {{{\left( {A{d_{{\rm{A}}_j}}{C_{leg{\rm{A}}}}_{_j}Ad_{{\rm{A}}_j}^{\rm T}} \right)}^{ - 1}}} } \right)^{ - 1}}=\\ & \left[\begin{array}{*{20}{c}} {C_{hA}^{11}} & 0 & 0 & 0 & {C_{hA}^{15}} & 0 \\ 0 & {C_{hA}^{22}} & 0 & {C_{hA}^{24}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {C_{hA}^{33}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {C_{hA}^{42}} & 0 & {C_{hA}^{44}} & 0 & 0 \\ {C_{hA}^{51}} & 0 & 0 & 0 & {C_{hA}^{55}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {C_{hA}^{66}} \end{array}\right] \end{split}$$ (11)

      图8中并联的两个柔性腿对称中线的延长线交于oA,当并联柔度单元受到来自反射镜的局部力矩${M_{{x_A}}}$作用时,在oA位置附近产生结构转角$\theta _{{x_A}}^{{o_A}}$与寄生位移变形$\delta _{{y_A}}^{{o_A}}$,旋转瞬心在zA轴方向的位置分量为:

      $$\begin{split} & {R_{{z_A} - {M_x}}} = \dfrac{{\delta _{{y_A}}^{{o_A}}}}{{\theta _{{x_A}}^{{o_A}}}} = \dfrac{{C_{hA}^{51}{M_{{x_A}}}}}{{C_{hA}^{11}{M_{{x_A}}}}} =\\ & \dfrac{{C_{l{A_1}}^{15}C_{l{A_1}}^{66}\cos {\theta _0}}}{{{{\left( {\sin {\theta _0}} \right)}^2}\left[ {C_{l{A_1}}^{11}C_{l{A_1}}^{55} - {{\left( {C_{l{A_1}}^{15}} \right)}^2}} \right] + {{\left( {\cos {\theta _0}} \right)}^2}C_{l{A_1}}^{11}C_{l{A_1}}^{66}}} \\ \end{split} $$ (12)

      结合柔性铰链组的结构形式可知,${R_{{Z_A} - {M_x}}}$${\theta _0} = {90^ \circ }$的极值条件不能成立,即无阻隔全柔性结构中的寄生运动对铰链支撑精度的影响不能完全消除,对于双足柔性铰链结构考虑到减小由反射镜轴向力导致的支撑腿的局部弯曲力矩的影响,试取区间为θ0∈[25°,45°]。

    • 图9所示,Lower face面与Upper face面分别为柔性支撑的起始与终止位置,Neutral surface为反射镜支撑位置的虚拟中性面,参考坐标系ooxoyozo位于虚拟中性面几何中心,坐标系oAxAyAzA,oBxByBzB,oCxCyCzC分别位于各组柔性结构支撑腿延长线交点。在坐标系ooxoyozo下,柔性支撑结构模型的柔度矩阵如下:

      图  9  反射镜组件柔性支撑结构模型

      Figure 9.  Flexible support structure model of mirror assembly

      $${C_{Model}} = {\left[ \begin{array}{l} {\left( {{{{Ad}}_A}{C_{Hing{e_ - }A}}{{Ad}}_A^{\rm{T}}} \right)^{ - 1}} + \\ {\left( {{{{Ad}}_B}{C_{Hing{e_ - }B}}{{Ad}}_B^{\rm{T}}} \right)^{ - 1}} + \\ {\left( {{{{Ad}}_C}{C_{Hing{e_ - }C}}{{Ad}}_C^{\rm{T}}} \right)^{ - 1}} \\ \end{array} \right]^{ - 1}}$$ (13)

      式中:AdA, AdB, AdC为铰链组A, B, C到参考坐标系ooxoyozo的坐标变换矩阵;CHinge_A,CHinge_B,CHinge_C为柔性铰链组A , B , C的柔度矩阵。

      则在广义力${F_0} = {\left( {M_x^{{o_0}},M_y^{{o_0}},M_z^{{o_0}},F_x^{{o_0}},F_y^{{o_0}},F_z^{{o_0}}} \right)^{\rm T}}$作用下Neutral surface面空间变形旋量${\zeta _0} ={\left( {\theta _x^{{o_0}},\theta _y^{{o_0}},\theta _z^{{o_0}}, \delta _x^{{o_0}},}\right.} {\left.{\delta _y^{{o_0}},\delta _z^{{o_0}}} \right)^{\rm T}}$可表示为:

      $${\zeta _0} = {C_{Model}}{F_0}$$ (14)

      $\theta _{3 \times 1}^{{o_o}}$$\delta _{3 \times 1}^{{o_o}}$是相对于坐标系o0各坐标轴的线位移变形分量与角位移变形分量,$M_{3 \times 1}^{{o_o}}$$F_{3 \times 1}^{{o_o}}$是广义力的作用力矩与作用力。

    • 参考公式(13)、(14),为使支撑结构具有较好轴向刚度,且对外部附加载荷具有有效缓冲效果,通过调节结构参数的取值,在尺寸变化范围内,使得模型径向柔度$C_{Model}^r$取最大值,而轴向柔度$C_{Model}^z$取最小值,即满足

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {C_{Model}^r\left( X \right) = \max \left\{ {{{\left[ {{{\left( {C_{Model}^x} \right)}^2} + {{\left( {C_{Model}^y} \right)}^2}} \right]}^{{1 / 2}}}} \right\}} \\ {C_{Model}^Z\left( X \right) = \min \left\{ {C_{Model}^Z} \right\}} \end{array}} \right.$$ (15)

      Xli,wi,ti,θi的尺寸参数集合,采用分目标乘除法,对上述计算模型进行处理,构造评价函数为:

      $$U\left( X \right) = \mathop {\min }\limits_{X \in D} \dfrac{{C_{Model}^Z}}{{C_{Model}^r}}$$ (16)

      为避免径向与轴向柔度的耦合,添加相邻计算间的不等式约束为:

      $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {C_{Model}^{z\;(n + 1)} < C_{Model}^{z\;(n)}} \\ {C_{Model}^{r\;(n + 1)} > C_{Model}^{r\;(n)}} \end{array}} \right.$$ (17)

      结构尺寸约束条件为:

      $$\min U\left( {{l_i},{w_i},{t_i},{\theta _0}} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2 \leqslant {l_i} \leqslant 16} \\ {4 \leqslant {w_i} \leqslant 10} \\ {0.4 \leqslant {t_i} \leqslant 2} \\ {{{25}^ \circ } \leqslant {\theta _0} \leqslant {{45}^ \circ }} \end{array}} \right.$$ (18)

      将反射镜径向尺寸R0=105 mm代入,由Matlab计算得到柔性支撑结构的初始尺寸值,根据柔性结构各参数的初始值,设定参数取值区间,并以镜面RMS最小值作为目标函数,在重力载荷与热载荷条件下对其进行有限元多参数优化,以最终得到全局最优解作为参数修正值,如表4所示。

      表 4  Bipod组件尺寸参数取值

      Table 4.  Dimensional parameters of Bipod components

      PARMValue range/mmANSYS correction/mm
      l14.2–5.64.3
      l2/l38.0–9.49.0
      l44.0–5.04.1
      ti0.9–1.11.0
      wi4.6–5.85.0
      θ029°–34°30°

      根据最终参数取值对主反射镜系统进行模态分析[17],得到其前5阶模态如表5所示。

      表 5  主反射镜系统的结构模态

      Table 5.  Modal of the primary mirror system

      TypeMode
      12345
      Frequency/Hz415.1431.9786.7934.91106.7

      由表中主反射镜组件的1~5阶模态频率的取值可知,主反射镜组件具有足够的动态刚度。

    • 主反射镜系统在空间热载荷和重力释放共同作用下的变形云图如图10所示,主反射镜组件变形最大值为0.609 52 μm,镜面局部变形最大值为0.369 73 μm,不同支撑位置的Bipod柔性支撑组件局部变形的差异主要是由于镜体结构厚薄不均,在热载荷作用下镜体径向与轴向尺寸缩放不同而引起的。

      图  10  空间热载荷和重力释放引起的光机结构变形云图

      Figure 10.  Deformation nephogram of optomechanical structure caused by space thermal load and gravity release

      主反射镜系统在外部载荷作用下,镜面的实际形状和位置都会发生变化,其变形包括刚体位移和表面畸变。对不同载荷条件下的镜面变形数据进行处理,去除刚体位移后得到表面畸变。如图11所示,分别为主反射镜系统在空间热载荷176.15 K条件和轴向温度梯度ΔT=1.0 K条件下的镜面光轴方向的表面畸变面形图[18-19]。图中的梯形凸起波纹主要是由于反射镜质量分布不均以及镜体轻量化蜂窝孔共同作用造成的,图中凸起波纹的局部汇集是由于Bipod柔性支撑作用引起的。

      图  11  不同热载荷下的面形畸变

      Figure 11.  Surface error under different thermal loads

      表6图11中主反射镜系统在热载荷条件下面形的刚体位移与表面畸变的有限元计算值。

      表 6  热载荷条件下的反射镜面形

      Table 6.  Mirror shape under thermal load conditions

      ParameterSpace thermal loadT-gradient
      InitialFinallyAxial 1.0 K
      Δx/nm6.562.05<0.01
      Δy/nm0.210.06<1E–4
      Δz/μm0.850.350.002
      Δθx/nrad0.09<0.01<0.01
      Δθy/nrad<0.01<0.01<0.01
      Δθz/nrad<0.01<0.01<0.01
      PV/nm55.4031.400.27
      RMS/nm15.468.830.07

      表6可知,在空间热载荷作用下此结构形式主反射镜系统能够使得镜面RMS值由最初的15.46 nm下降至8.83 nm,优于λ/60。主反射镜系统具有轴向温度梯度时,其面形RMS值变化率约0.07 nm/K,说明主反射镜系统轴向具有较好的热稳定性,后续热控组件设计时可以有更宽的温度取值区间。

    • 文中以空间引力波望远镜的210 mm口径主反射镜系统为研究对象,进行了主反射镜组件的结构设计与分析。反射镜采用了侧面3点支撑的结构布局形式,并对支撑点的位置选取进行了优化。反射镜镜体背部采用了钻孔式半封闭构型,在保证结构刚度和面形精度的条件下实现了镜体的轻量化。可调节双轴连杆型Bipod柔性铰链系统为反射镜提供静约束的同时对面形误差进行了修正。建立了柔性铰链作用于反射镜的数学模型,并由数值计算结合有限元分析确定了柔性结构的尺寸参数取值。对主反射镜系统进行了模态分析,一阶模态为415.1 Hz。分析了空间热载荷条件下的反射镜面形,结果表明,反射镜支撑结构能够有效地释放热变形引起的局部附加载荷,柔性结构具有良好的温度自适应能力。最终的反射镜面形误差优于λ/60,满足设计要求。文中内容可为其他空间反射镜系统的结构设计与研究提供参考。

参考文献 (19)

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